Question

21.

      雙曲線C與橢圓有相同的焦點，直線y=x為C的一條漸近線．

     （Ⅰ）求雙曲線C的方程；

     （Ⅱ）過點P（0，4）的直線l，交雙曲線C于A、B兩點，交x軸于Q點（Q點與C的頂點不重合）.當=λ₁=λ₂，且λ₁+λ₂=時，求Q點的坐標．

Answer 1

解：(Ⅰ)設雙曲線方程為=1．

由橢圓求得兩焦點為(-2，0)，(2，0)．

∴對于雙曲線C:c=2.又y=x為雙曲線C的一條漸近線，

    ∴   解得  a²=1，b²=3，

∴雙曲線C的方程為：  -=1.

（Ⅱ）解法一：

由題意知直線l的斜率k存在且不等于零.

設l的方程：y=kx+4,A(x₁,y₁)，

B(x₂,y₂)，

則Q(-，0)，

 

∵=λ₁，

 

    ∴(-，-4)=λ₁(x₁+，y₁).

    ∴

∵A(x₁，y₁)在雙曲線C上，

∴=0.

∴.

∴

 

同理有：(16-k²)λ²₂+32λ₂+16-k²=0．

若16-k²=0，則直線l過頂點，不合題意．  ∴16-k²≠0．

 

∴λ₁、λ₂是二次方程(16-k²)x²+32x+16-k²=0的兩根．

∴λ₁+λ₂=.

 

∴k²=4,

此時△＞0，  ∴k=±2.

∴所求Q的坐標為(±2，0)．

 

解法二：

由題意知直線l的斜率k存在且不等于零

 

設l的方程：  y=kx+4，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則Q(-，0).

∵=λ₁，

 

∴Q分的比為λ₁.

 

由定比分點坐標公式得：

下同解法一

 

解法三：

由題意知直線l的斜率k存在且不等于零.

設l的方程：  y=kx+4，A(x₁,y₁)，B(x₂，y₂)，  則Q(-，0).

∵=λ₁=λ₂,

 

∴(-,-4)=λ₁(x₁+，y₁)=λ₂(x₂+，y₂).

 

∴-4=λ₁y_l=λ₂y₂.

 

∴λ₁=-，λ₂＝-.

 

又λ₁+λ₂=-，

∴.

 

即 3(y₁+y₂)=2y₁y₂.

 

將y=kx+4代入x²-=1得

(3-k²)y²-24y+48-3k²=0．

 

∵3-k²≠0,否則l與漸近線平行，

 

∴y₁+y₂=，y₁y₂=.

 

∴．

∴k＝±2．

∴Q(±2，0)．