Question

已知：點A（2，2）、點B（4，4）、點C（4，2）是⊙D上的三個點．
（Ⅰ）求⊙D的一般方程；
（Ⅱ）直線l：x-y-4=0，點P在直線l上運動，過點P作⊙D的兩貼切線，切點分別是M、N，求當(dāng)PD⊥l時四邊形PMDN的面積，并求這時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）設(shè)⊙D的一般方程為x²+y²+dx+ey+f=0，
由題意列式求出d，e，f，則⊙D的一般方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊙D的圓心D（3，3），根據(jù)PD⊥l可得PD方程，聯(lián)立兩直線方程求得P（5，1），再由圓心D到直線l的距離結(jié)合直角三角形求得半徑r，
根據(jù)對稱性可得SPMDN=2S△PMD=2×

1

2

|PM|•|MD|=r

|PD|2-r2

=

2

•

|PD|2-2

．則四邊形PMDN的面積可求．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)⊙D的一般方程為x²+y²+dx+ey+f=0，
則

22+22+2d+2e+f=0 42+42+4d+4e+f=0 42+22+4d+2e+f=0

，解得

d=-6 e=-6 f=16

．
∴⊙D的一般方程為x²+y²-6x-6y+16=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊙D的圓心D（3，3），
由PD⊥l，可設(shè)PD：x+y+m=0，解得：m=-6．
∴

x+y-6=0 x-y-4=0

，解得：P（5，1），
這時圓心D到直線l的距離|PD|=h=

|3-3-4|

2

=2

2

．
⊙D的半徑r=

(-6)2+(-6)2-4×16

2

=

2

．
h＞r，∴直線l與⊙D無公共點，
根據(jù)對稱性，SPMDN=2S△PMD=2×

1

2

|PM|•|MD|
=r

|PD|2-r2

=

2

•

|PD|2-2

．
故SPMDN=

2

•

(2 2 )2-2

=2

3

．
綜上，當(dāng)P（5，1）時，SPMDN=2

3

．

點評：本題考查了直線的一般式方程，考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．