Question

（本題滿分16分）已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x均有f（x）=k f（x+2），其中常數(shù)k為負數(shù)，且f（x）在區(qū)間[0，2]有表達式f（x）=x(x－2)。

⑴求f（-1）,f（2.5）的值（用k表示）；

⑵寫出f（x）在[－3，2]上的表達式，并討論f（x）在[－3，2]上的單調(diào)性（不要證明）；

⑶求出f（x）在[－3，2]上最小值與最大值，并求出相應(yīng)的自變量的取值。

 

Answer 1

【答案】

⑴f（－1）= k f（1）= k（－1）=－k   …………………………………………2′

   f（2.5）= f（0.5）=××（－）=－ …………………………4′

   x∈[－2，0]時，x+2∈[0，2]

   ∴  f（x）= k f（x+2）= k（x+2）x  …………………………………………6′

    x∈[－3，－2）時   x+2∈[－1，0)

   ∴  f（x）= k f（x+2）= k²（x+4）（x+2）……………………………………8′

   ∴  f（x）=

   ⑵f（x）在[－3，－1]上單調(diào)增，在[1， 2] 單調(diào)增

      在[－1， 1]上單調(diào)減    ……………………………………………………12′

   ⑶x=－1，f（x）_max=－k     ……………………………………………………13′

     k=－1，f（x）_min=－1,此時x=1或x=－3   …………………………………14′

     k<－1時，f（x）_min=－k²，此時x=－3     …………………………………15′

    －1<k<0時，f（x）_min=－1，此時x=1       …………………………………16′

 

【解析】略