Question

（12分）如圖，四棱錐P—ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上。

（1）求證：平面AEC⊥PDB；

（2）當PD＝AB且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成角的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見解析；（2）AE與面PDB所成角的大小為45°。

【解析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．

（Ⅰ）欲證平面AEC⊥平面PDB，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面AEC內(nèi)一直線與平面PDB垂直，而根據(jù)題意可得AC⊥平面PDB；

（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，根據(jù)線面所成角的定義可知∠AEO為AE與平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．

（1）證明：∵底面ABCD是正方形

∴AC⊥BD

又PD⊥底面ABCD  

PD⊥AC

（2）解：設(shè)AC與BD交于O點，連接EO

則易得∠AEO為AE與面PDB所成的角

∵E、O為中點      ∴EO＝PD          ∴EO⊥AO

∴在Rt△AEO中   OE＝PD＝AB＝AO

∴∠AEO＝45°    即AE與面PDB所成角的大小為45°