Question

【題目】設(shè)橢圓M： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，點(diǎn)A（a，0），B（0，﹣b），原點(diǎn)O到直線AB的距離為 ．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=2x+m與橢圓M相交于C、D不同兩點(diǎn)，經(jīng)過線段CD上點(diǎn)E的直線與y軸相交于點(diǎn)P，且有 =0，| |=| |，試求△PCD面積S的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 得a=
可得直線AB的方程為 ，于是 ，
得b= ，b2=2，a2=4，所以橢圓M的方程為
（Ⅱ）設(shè)C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），由方程組 ，
得9x2+8mx+2m2﹣4=0，
所以有 ， ，且△≥0，即m2≤18．

=
=
=
= ．
因?yàn)? =0，
所以 ，
又| |=| |，
所以E是線段CD的中點(diǎn)，
點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ，即E的坐標(biāo)是 ，
因此直線PE的方程為y=﹣ ，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣ ），
所以|PE|=
= ．（2分）
因此
= ．
所以當(dāng)m2=9，即m=±3時(shí)，S取得最大值，最大值為 ．
【解析】（Ⅰ）由 得a= ．可得直線AB的方程為 ，于是 ，由此能夠求出橢圓M的方程．（Ⅱ）設(shè)C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），由方程組 ，得9x2+8mx+2m2﹣4=0，所以有 ， ，且△≥0，即m2≤18. = ．由 ，E是線段CD的中點(diǎn)，由此能求出S的最大值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．