Question

【題目】（本小題滿分12分）已知函數

（1）若直線過點，并且與曲線相切，求直線的方程；

（2）設函數在上有且只有一個零點，求的取值范圍。（其中為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】（1）直線的方程為 （2）a的取值范圍是或

【解析】

試題分析：（1）先求函數的導數，再利用導數的幾何意義求切線的斜率，從而確定切線的方程；（2）因為，注意到g（1）=0，所以，所求問題等價于函數在上沒有零點.因此只要求出函數的導數，根據的取值計論函數在上的性質,以確定 取何值時，函數在上沒有零點.

試題解析：解：（1）設切點坐標為，則切線的斜率為

所以切線的方程為 2分

又切線過點（1，0），所以有

即 解得

所以直線的方程為 4分

（或：設，則

單增，單減

有唯一解，

所以直線的方程為 4分）

（2）因為，注意到g（1）=0

所以，所求問題等價于函數在上沒有零點.

因為

所以由＜0＜00＜＜＞0＞

所以在上單調遞減，在上單調遞增. 6分

①當即時，在上單調遞增，所以>

此時函數g（x）在上沒有零點 7分

②當1＜＜e，即1＜a＜2時，在上單調遞減，在上單調遞增.

又因為g（1）=0,g（e）=e-ae+a，在上的最小值為

所以，（i）當1＜a時，在上的最大值g（e）0，即此時函數g（x）在上有零點。 8分

（ii）當 ＜a＜2時， g（e）＜0，即此時函數g（x）在上沒有零點. 10分

③當即時，在上單調遞減，所以在上滿足＜此時函數g（x）在上沒有零點

綜上，所求的a的取值范圍是或＜a 12分