Question

5．過點(diǎn)O（0，0）作直線與圓（x-4$\sqrt{5}$）²+（y-8）²=169相交，則在弦長為整數(shù)的所有直線中，等可能的任取一條直線，則弦長長度不超過14的概率為（　�。�

• A． $\frac{9}{10}$
• B． $\frac{15}{32}$
• C． $\frac{9}{32}$
• D． $\frac{7}{32}$

Answer 1

分析 利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓的圓心及半徑，求出當(dāng)直線與圓心和（0，0）連線垂直時(shí)的弦長即最短的弦長，求出直徑即最大的弦長，求出最大弦長與最小弦長之間的所有的直線條數(shù)，選出長度不超過14的直線條數(shù)，利用古典概型概率公式求出概率．

解答 解：（x-4$\sqrt{5}$）²+（y-8）²=169的圓心為（4$\sqrt{5}$，8），半徑為13，
∵（0，0）在圓的內(nèi)部且圓心與（0，0）的距離為12
∴過點(diǎn)O（0，0）作的直線中，最短的弦是直線與圓心和（0，0）連線垂直
最短的弦長為2$\sqrt{169-144}$=10，
過點(diǎn)O（0，0）作的直線中，最長的弦是直徑，其長為26
弦長均為整數(shù)的所有直線的條數(shù)有2×（25-10）+2=32
其中長度不超過14的有：10，11，11，12，12，13，13，14，14共9條
所以長度不超過14的概率為$\frac{9}{32}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 求直線的最小弦長、最大弦長問題一般利用圓的幾何性質(zhì)：當(dāng)直線與定點(diǎn)和圓心連線垂直時(shí)，弦長最小，當(dāng)直線是圓的直徑時(shí)，弦長最大．