Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁＝0，對任意n∈N^*，都有na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(2)若數(shù)列{b_n}滿足a_n＋log₂n＝log₂b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n.

Answer 1

解：(1)解法一：∵na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)，

∴當n≥2時，(n－1)a_n＝S_n－1＋n(n－1)，

兩式相減，得na_n＋1－(n－1)a_n＝S_n－S_n－1＋n(n＋1)－n(n－1)，

即na_n＋1－(n－1)a_n＝a_n＋2n，化簡，得a_n＋1－a_n＝2.

當n＝1時，1×a₂＝S₁＋1×2，即a₂－a₁＝2.

∴數(shù)列{a_n}是以0為首項，2為公差的等差數(shù)列．

∴a_n＝2(n－1)＝2n－2.

解法二：由na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)，得

n(S_n＋1－S_n)＝S_n＋n(n＋1)，

整理，得nS_n＋1＝(n＋1)S_n＋n(n＋1)，

兩邊同除以n(n＋1)，得－＝1.

∴數(shù)列是以＝0為首項，1為公差的等差數(shù)列．

∴＝0＋n－1＝n－1.

∴S_n＝n(n－1)．

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝n(n－1)－(n－1)(n－2)＝2n－2.

又a₁＝0適合上式，

∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n＝2n－2.

(2)∵a_n＋log₂n＝log₂b_n，

∴b_n＝n·2a_n＝n·2^2n－2＝n·4^n－1.

∴T_n＝b₁＋b₂＋b₃＋…＋b_n－1＋b_n＝4⁰＋2×4¹＋3×4²＋…＋(n－1)×4^n－2＋n×4^n－1，�、�

4T_n＝4¹＋2×4²＋3×4³＋…＋(n－1)×4^n－1＋n×4ⁿ，　②

①－②，得－3T_n＝4⁰＋4¹＋4²＋…＋4^n－1－n·4ⁿ＝

∴T_n＝[(3n－1)·4ⁿ＋1]．