Question

（本題滿分14分）如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁面ABC，BCAC，BC=AC=2，D為AC的中點。

（1）若AA₁=2，求證：；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁—BD—C的余弦值.

Answer 1

（1）見解析；（2）.

本試題主要是考查了線面垂直的證明，以及二面角的求解的綜合運用
（1）因為AA₁= BC=2., 又AA₁面ABC，關(guān)鍵是求證AC面B C₁，從而得到線面垂直的證明。_,
（2）利用三垂線定理，先作出二面角，然后借助于三角形的邊角的關(guān)系得到結(jié)論。
（1）AA₁= BC=2., 又AA₁面ABC，,CC₁ABC,, CC₁ AC ,而BCAC，CC₁BC=CAC面B C_1,.. --------（7分）
（2）過點C作于點E,連接,CC₁面ABC,, CC₁BD, 又，CC₁EC=C,,.故為二面角C₁—BD—C的平面角。BC=2，CC₁=3,,.在直角三角形中，CC₁=3,. .-------------（14分）