Question

橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)（直線不與軸重合），為橢圓的左頂點(diǎn)，試證明：．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）法一：由焦點(diǎn)坐標(biāo)得，進(jìn)而得到關(guān)系，設(shè)橢圓方程，帶點(diǎn)求出；法二：用定義結(jié)合距離公式求，再求；法三：利用通徑長(zhǎng)公式得關(guān)系，再結(jié)合，求出；（2）設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，得，于是由韋達(dá)定理有，法一：用坐標(biāo)計(jì)算，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得，于是；法二：設(shè)弦的中點(diǎn)，根據(jù)韋達(dá)定理有，再由，用距離公式計(jì)算得，弦長(zhǎng)公式計(jì)算，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得，由此有，因此.

試題解析：（1）法一：由題意，設(shè)橢圓方程為，

由已知?jiǎng)t有，，聯(lián)立解得；

法二：由結(jié)合距離公式直接求出，結(jié)合，求出；

法三：利用通徑長(zhǎng)公式可得，再結(jié)合，求出和，

故所求橢圓方程為； （4分）

（2）設(shè)直線的方程為：，

由得：，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，直線必與橢圓相交于兩點(diǎn)，即恒成立，

設(shè)，則； （8分）

法一：則

，

將代入上式整理可得，

，則的大小必為定值； （12分）

法二：設(shè)弦的中點(diǎn)，則，，

所以，

而由弦長(zhǎng)公式得，

由此則有，即，

則知點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，故，命題得證.

考點(diǎn)：1、橢圓方程的求法；2、直線與橢圓的關(guān)系；3、韋達(dá)定理；4、向量的數(shù)量積與幾何意義；5、圓的性質(zhì).