Question

己知曲線C₁：y=-x²+1（y≤0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P與A，B連線的斜率之積為-4
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B的直線l與C₁，C₂分別交于點(diǎn)M，Q（均異于點(diǎn)A，B），若以MQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A，求△AMQ的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用點(diǎn)P與A，B連線的斜率之積為-4，建立方程，即可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）其方程為y=k（x-1）（k≠0），代入上半橢圓C₂的方程，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用AM⊥AQ，可得yP=

48

25

，yQ=-

16

9

，即可求出△AMQ的面積．

解答： 解：（Ⅰ）不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，則A（-1，0），B（1，0）
設(shè)P（x，y）（y＞0），則kAPkBP=

y

x+1

•

y

x-1

=-4
整理得：

y2

4

+x2=1(y＞0)
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C₂的方程為

y2

4

+x2=1(y＞0)--------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半橢圓C₂的方程為

y2

4

+x2=1(y＞0)．
易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為y=k（x-1）（k≠0），
代入C₂的方程，整理得（k²+4）x²-2k²x+k²-4=0．（*）
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x_M，y_M），
∵直線l過點(diǎn)B，∴x=1是方程（*）的一個(gè)根．
由求根公式，得x_M=

k2-4

k2+4

，從而y_M=

-8k

k2+4

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

k2-4

k2+4

，

-8k

k2+4

）．--------------------------------（7分）
同理，由

y=k(x-1)(k≠0) y=-x2+1

得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-k-1，-k²-2k）．
由題意可知AM⊥AQ，且

AM

=(

2k2

k2+4

，

-8k

k2+4

)，

AQ

=(-k，-k2-2k)．
∴

AM

•

AQ

=0，即

-2k2

k2+4

[k-4（k+2）]=0，
∵k≠0，
∴k-4（k+2）=0，解得k=-

8

3

．--------------------------------（10分）
∴yP=

48

25

，yQ=-

16

9

∴S△APQ=

1

2

|AB||yP-yQ|=

832

225

所以△APQ的面積為

832

225

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C₂的方程，考查△APQ的面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．