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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知數列{an}中，a1=且對任意非零自然數n都有an+1=an+（）n+1．數列{bn}對任意非零自然數n都有bn=an+1-an．
（1）求證：數列{bn}是等比數列；
（2）求數列{an}的通項公式．
【答案】分析：（1）利用等比數列的定義找尋數列中相鄰項之間的關系，從而確定出數列的等比性是解決本題的關鍵，要用好數列相鄰項之間的關系．
（2）利用數列{bn}是等比數列，先寫出數列{bn}的通項公式，進而得出數列{an}與{bn}的關系，進而寫出數列{an}的通項公式．
解答：解：（1）證明：bn=an+1-an=[an+（）n+1]-an=（）n+1-an，bn+1=（）n+2-an+1=（）n+2-[an+（）n+1]=•（）n+1-an-•（）n+1=•（）n+1-an=•[（）n+1-an]，
∴=（n=1，2，3，…）．
∴{bn}是公比為的等比數列．
（2）解：∵b1=（）2-a1=-•=，
∴bn=•（）n-1=（）n+1．
由bn=（）n+1-an，得（）n+1=（）n+1-an，解得an=6[（）n+1-（）n+1]．
點評：本題考查等比數列的判定，利用相鄰項之間的關系確定出后一項與這一項的商為常數，考查等比數列通項公式的應用，考查學生的運算化簡能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）求數列{
2n
an
}的前n項和Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數列的前n項和，且Sn與
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數列{an}的通項公式為（　�。�
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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