Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的離心率為，直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，，且點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)時(shí)，.

（1）求橢圓方程；

（2）試探究四邊形的面積是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)差法得，解得M坐標(biāo)，代入橢圓方程，與離心率聯(lián)立方程組解得（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式、面積公式得四邊形的面積.

解：（1）由，，故橢圓方程可化為，

設(shè)，，

則，，

兩式相減整理得，

當(dāng)時(shí)，，

解得，

將與聯(lián)立，

解得中點(diǎn)坐標(biāo)為，

故代入橢圓方程，

整理得，

解得，故橢圓的方程為.

（2）設(shè)中點(diǎn)為，，，

把代入橢圓，

整理得，

，，，

所以，.

設(shè)，

則，，

代入橢圓，得，

.

①當(dāng)時(shí)，設(shè)交軸于點(diǎn)，則.

.

②當(dāng)時(shí)，的面積為，

故面積為定值.

因?yàn)?/span>，

所以四邊形面積為定值3.