Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，g（x）是反比例函數(shù)，且滿足f[f（x）]=x+2，g（1）=﹣1
（1）求函數(shù)f（x）和g（x）；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），判斷函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閒（x）是一次函數(shù)，g（x）是反比例函數(shù)

∴設(shè)f（x）=ax+b（a≠0），g（x）= （k≠0），

∵f[f（x）]=x+2，

∴a（ax+b）+b=x+2，

∴a2x+（a+1）b=x+2，

∴ ，解得：a=1，b=1，

故f（x）=x+1；

∵g（1）=﹣1，故k=﹣1，

故g（x）=﹣

（2）解：判斷：函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，

由（1）知h（x）= +1，設(shè)x1，x2是（0，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＜x2，

h（x1）﹣h（x2）=（x1﹣ ）﹣（x2﹣ ）=（x1﹣x2）（1+ ），

∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，

∴h（x1）﹣h（x2）＜0，即h（x1）＜h（x2），

∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）遞增

【解析】（1）設(shè)出函數(shù)的解析式，通過(guò)待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式即可；（2）求出h（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．