Question

（理）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA=AD=2，點(diǎn)E、F、G分別為線(xiàn)段PA、PD和CD的中點(diǎn)．
（1）求異面直線(xiàn)EG與BD所成角的大��；
（2）在線(xiàn)段CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)A到平面EFQ的距離恰為？若存在，求出線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（文）已知坐標(biāo)平面內(nèi)的一組基向量為，，其中，且向量．
（1）當(dāng)和都為單位向量時(shí)，求；
（2）若向量和向量共線(xiàn)，求向量和的夾角．

Answer 1

【答案】分析：（理科）（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)AB，AD，AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建系如圖示，寫(xiě)出點(diǎn)E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量，的坐標(biāo)，利用異面直線(xiàn)EG與BD所成角公式求出異面直線(xiàn)EG與BD所成角大小即可；
（2）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即先假設(shè)在線(xiàn)段CD上存在一點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件，設(shè)點(diǎn)Q（x，2，0），平面EFQ的法向量為，再點(diǎn)A到平面EFQ的距離，求出x，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
（文科）（1）由題意，得出，都為單位向量．從而求得．
（2）由條件，因?yàn)橄蛄?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181535421435741/SYS201310241815354214357021_DA/7.png">和向量共線(xiàn)，根據(jù)共線(xiàn)向量的性質(zhì)求得：．最后利用向量和的夾角即可求得向量和的夾角．
解答：解：（理科）（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)AB，AD，AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，點(diǎn)E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），
則，．
設(shè)異面直線(xiàn)EG與BD所成角為θ=，
所以異面直
線(xiàn)EG與BD所成角大小為．
（2）假設(shè)在線(xiàn)段CD上存在一點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件，設(shè)點(diǎn)Q（x，2，0），平面EFQ的法向量為，
則有得到y(tǒng)=0，z=xx，取x=1，
所以，則，又x＞0，解得，
所以點(diǎn)即，則．
所以在線(xiàn)段CD上存在一點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件，且長(zhǎng)度為．
（文科）解：（1）由題意，當(dāng)x=0時(shí)，sinx=0，cosx=1，此時(shí)，都為單位向量．
故，
所以．
（2）由條件
因?yàn)橄蛄?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181535421435741/SYS201310241815354214357021_DA/33.png">和向量共線(xiàn)，
所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181535421435741/SYS201310241815354214357021_DA/37.png">，
所以．
于是，，
設(shè)向量和的夾角為θ
則=，
即向量和的夾角為．
點(diǎn)評(píng)：考查利用空間向量證明垂直和求夾角和距離問(wèn)題，以及平行向量與共線(xiàn)向量的判定定理，體現(xiàn) 了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬中檔題．