Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)

為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是直線：上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軌跡的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，設(shè)切線，的斜率分別為，，直線的斜率為，求證：．

 

Answer 1

（1），（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，分四步。第一步，設(shè)所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，，．第二步，建立等量關(guān)系，由可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以即所以點(diǎn)，．所以，．由，可得，第三步，化簡(jiǎn)等量關(guān)系，即．第四步，去雜或確定取值范圍，本題就是（2）證明三直線斜率關(guān)系，實(shí)質(zhì)研究其坐標(biāo)關(guān)系. 設(shè)點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線，聯(lián)立方程，整理得．則，化簡(jiǎn)得．所以．又，故．

【解】（1）設(shè)點(diǎn)，，．

由可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，

所以即所以點(diǎn)，．

所以，． 3分

由，可得，即．

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為． 5分

（2）設(shè)點(diǎn)，

由于過點(diǎn)的直線與軌跡：相切，

聯(lián)立方程，整理得． 7分

則，

化簡(jiǎn)得．

顯然，，是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，所以．

又，故．

所以命題得證． 10分

考點(diǎn)：軌跡問題的求解方法、直線和拋物線方程的位置關(guān)系