Question

設經過雙曲線的左焦點F₁作傾斜角為的直線與雙曲線左右兩支分別交于點A，B．求
（I）線段AB的長；
（II）設F₂為右焦點，求△F₂AB的周長．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出雙曲線的焦點坐標，求出直線的斜率，利用點斜式求出直線方程；將直線的方程代入雙曲線的方程，利用兩點的距離公式求出|AB|．
（II）利用焦半徑公式求出|F₂A|，|F₂B|；利用韋達定理求出）|F₂A|，|F₂B|的和，求出三角形的周長．
解答：解：（I）F₁（-2，0）

設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
將直線代入3x²-y²-3=0
整理得8x²-4x-13=0
由距離公式=3（6分）
（II）|F₂A|=2x₁-1，|F₂B|=1-2x₂
∴=
∴（12分）
點評：解決直線與圓錐曲線的弦長問題常將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式．