Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，C的短軸長為4，離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓C于P₁，P₂兩點，B₁，B₂分別是橢圓C的上、下頂點，B₁P₂與x軸交于Q點，直線P₁B₁與直線QB₂相交于點P，求P點的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，利用已知結(jié)合隱含條件求得長半軸長，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出直線P₁P₂的方程，和橢圓方程聯(lián)立求得P₁，P₂的坐標(biāo)，寫出B₁P₂的方程，得到Q點的坐標(biāo)，然后得到P₁B₁的方程和QB₂的方程，聯(lián)立后求解交點，消掉參數(shù)k后得答案．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
2b=4，b=2，

c

a

=

3

2

，
∴

c2

a2

=

3

4

，即

a2-b2

a2

=

3

4

，解得a²=16．
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）如圖，

設(shè)P（x，y），直線P₁P₂為y=kx（k≠0），
聯(lián)立

y=kx x2 16 + y2 4 =1

，得P1(

4

1+4k2

，

4k

1+4k2

)，P2(-

4

1+4k2

，-

4k

1+4k2

)，
則B₁P₂的方程為

y+ 4k 1+4k2

2+ 4k 1+4k2

=

x+ 4 1+4k2

4 1+4k2

，
取y=0，得Q（-

4

2k+ 1+4k2

，0），
則P₁B₁的方程為：

y-2

4k 1+4k2 -2

=

x-0

4 1+4k2 -0

  ①，
QB₂的方程為：

y-0

-2-0

=

x+ 4 2k+ 1+4k2

4 2k+ 1+4k2

  ②，
聯(lián)立①②可得：

x=- 2 k y= 1+4k2 k

．
消去參數(shù)k得：x²-4y²+16=0（x≠0）．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了利用參數(shù)法求曲線的方程，考查了學(xué)生的計算能力，是壓軸題．