Question

空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）是衡量空氣質(zhì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)，表是我國南方某市氣象環(huán)保部門從去年的每天空氣質(zhì)量檢測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取的40天的統(tǒng)計(jì)結(jié)果：

空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）	國家環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)	頻數(shù)（天）	頻率
[0，50]	一級（優(yōu)）	4
（50，100]	二級（良）	20
（100，150]	三級（輕度污染）	8
（150，200]	四級（中度污染）	4
（200，300]	五級（重度污染）	3
（300，+∞]	六級（嚴(yán)重污染）	1

（1）若以這40天的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來估計(jì)，一年中（365天）該市有多天的空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)良？
（2）若將頻率視為概率，某中學(xué)擬在今年五月份某三天召開運(yùn)動會，以上表的數(shù)據(jù)為依據(jù)，問：
①這三天空氣質(zhì)量都達(dá)標(biāo)（空氣質(zhì)量屬一、二、三級內(nèi)）的概率；
②設(shè)ξ表示這三天中空氣質(zhì)量達(dá)到五級或六級的天數(shù)，求Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：設(shè)P（ξ=i）（i=1，2，3，4，5，6）表示空氣質(zhì)量達(dá)到第I級的概率．
（1）空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)良的概率約為：P（ξ=1）+P（ξ=2）；
（2）①氣質(zhì)量都達(dá)標(biāo)（空氣質(zhì)量屬一、二、三級內(nèi)）的概率P（ξ=1）+P（ξ=2）+P（ξ=3），進(jìn)而根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，可得答案；
②ξ～B（3，0.1），則可求Eξ．

解答： 解：設(shè)P（ξ=i）（i=1，2，3，4，5，6）表示空氣質(zhì)量達(dá)到第I級的概率，
由已知中的頻率分布表可得：
P（ξ=1）=

4

40

=0.1；P（ξ=2）=

20

40

=0.5；P（ξ=3）=

8

40

=0.2；
P（ξ=4）=

4

40

=0.1；P（ξ=5）=

3

40

=0.075；P（ξ=6）=

1

40

=0.025；
（1）∵空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)良的概率約為：P（ξ=1）+P（ξ=2）=0.6，
故一年中（365天）該市空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)良的天數(shù)約為365×0.6=219天；
（2）①空氣質(zhì)量都達(dá)標(biāo)（空氣質(zhì)量屬一、二、三級內(nèi)）的概率P（ξ=1）+P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.8，
故這三天空氣質(zhì)量都達(dá)標(biāo)（空氣質(zhì)量屬一、二、三級內(nèi)）的概率P=（0.8）³=0.512，
②ξ～B（3，0.1），則Eξ=3×0.1=0.3．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是頻率分布表，相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，難度不大．