Question

設f（x）=x³+ax²+bx+1的導數f'（x）滿足f'（1）=2a，f'（2）=-b，其中常數a，b∈R．
（I）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（II）設g（x）=f′（x）e^-x．求函數g（x）的極值．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=x³+ax²+bx+1∴f'（x）=3x²+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=-3
令x=2，得f'（2）=12+4a+b=-b，因此12+4a+b=-b，解得a=-，因此f（x）=x^3-x²-3x+1
∴f（1）=-，
又∵f'（1）=2×（-）=-3，
故曲線在點（1，f（1））處的切線方程為y-（-）=-3（x-1），即6x+2y-1=0．

（II）由（I）知g（x）=（3x²-3x-3）e^-x
從而有g'（x）=（-3x²+9x）e^-x
令g'（x）=0，則x=0或x=3
∵當x∈（-∞，0）時，g'（x）＜0，
當x∈（0，3）時，g'（x）＞0，
當x∈（3，+∞）時，g'（x）＜0，
∴g（x）=（3x²-3x-3）e^-x在x=0時取極小值g（0）=-3，在x=3時取極大值g（3）=15e^-3
分析：（I）根據已知中f（x）=x³+ax²+bx+1，我們根據求函數導函數的公式，易求出導數f'（x），結合f'（1）=2a，f'（2）=-b，計算出參數a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入點斜式方程，即可得到曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（II）根據g（x）=f′（x）e^-1求出函數g（x）的解析式，然后求出g（x）的導數g'（x）的解析式，求出導函數零點后，利用零點分段法，分類討論后，即可得到函數g（x）的極值．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及方程組的求解等有關問題，屬于中檔題．