Question

（2012•河南模擬）如圖，AB是圓O的直徑，以B為圓心的圓B與圓O的一個交點為P．過點A作直線交圓O于點Q，交圓B于點M、N．
（1）求證：QM=QN；
（2）設圓O的半徑為2，圓B的半徑為1，當AM=

10

3

時，求MN的長．

Answer 1

分析：（1）連接BM、BN、BQ、BP，利用垂徑定理，即可得到結(jié)論；
（2）確定AP為圓B的切線，可得AP²=AM•AN，求出AP的長，結(jié)合AM=

10

3

，可求MN的長．

解答：（1）證明：連接BM、BN、BQ、BP
∵B為小圓的圓心
∴BM=BN
∵AB為大圓的直徑
∴BQ⊥MN
∴MQ=QN
（2）解：∵AB為大圓的直徑
∴∠APB=90°
∴AP為圓B的切線，∴AP²=AM•AN
∵AB=4，PB=1
∴AP²=AB²-PB²=15
∵AM=

10

3

，∴15=

10

3

×(

10

3

+MN)
∴MN=

7

6

點評：本題考查圓的性質(zhì)，考查垂徑定理的運用，屬于基礎題．