Question

11．已知點A（0，3），B（3，0），如果拋物線y=x²-ax+a+1與線段AB（不包括線段端點A，B）有兩個不同的交點，求a滿足的條件．

Answer 1

分析 由題意可求線段AB所在的直線的解析式為y=-x+3（0≤x≤3），由拋物線與線段所在的線段y=-x+3（0≤x≤3）有兩個不同的交點，可得方程x²+（1-a）x+a-2=0，在[0，3]上應(yīng)該有兩個不相等的實數(shù)根即f（x）=x²+（1-a）x+a-2在[0，3]與x軸上有2個交點，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得不等式組，解出即可．

解答 解：設(shè)線段AB所在的直線的解析式為y=kx+b，
分別把（3，0），（0，3）代入可得，0=3k+b，3=b
解得k=-1，b=3，
∴線段AB所在的直線的解析式為y=-x+3（0≤x≤3），
聯(lián)立y=-x+3，y=x²-ax+a+1，得x²+（1-a）x+a-2=0，
因為拋物線與線段所在的線段y=-x+3（0≤x≤3）有兩個不同的交點，
所以方程x²+（1-a）x+a-2=0，在[0，3]上應(yīng)該有兩個不相等的實數(shù)根
令f（x）=x²+（1-a）x+a-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△{=（1-a）}^{2}-4（a-2）＞0}\\{0＜\frac{a-1}{2}＜3}\\{f（0）=a-2≥0}\\{f（3）=9+3（1-a）+a-2≥0}\end{array}\right.$，
∴2≤a≤5且a≠3．

點評 本題主要考查了直線與曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用，解題中要注意解題中的x的范圍限制．