Question

已知圓M（M為圓心）的方程為x²+（y-2）²=1，直線l的方程為x-2y=0，點(diǎn)P在直線l上，過P點(diǎn)作圓M的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B．
（1）若∠APB=60°，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求證：經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（2m，m），代入圓方程，解得m，進(jìn)而可知點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）設(shè)P（2m，m），MP的中點(diǎn) Q(m，

m

2

+1)，因?yàn)镻A是圓M的切線，進(jìn)而可知經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，進(jìn)而得到該圓的方程，根據(jù)其方程是關(guān)于m的恒等式，進(jìn)而可求得x和y，得到經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)P（2m，m），由題可知MP=

1

sin30°

=2，即（2m）²+（m-2）²=4，…（3分）
解得：m=0，m=

4

5

故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（0，0）或P(

8

5

，

4

5

)．　 　　…（6分）
（2）設(shè)P（2m，m），MP的中點(diǎn)Q(m，

m

2

+1)，因?yàn)镻A是圓M的切線
所以經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，
故其方程為：(x-m)2+(y-

m

2

-1)2=m2+(

m

2

-1)2…（9分）
化簡得：x²+y²-2y-m（2x+y-2）=0，此式是關(guān)于m的恒等式，
故

x2+y2-2y=0 2x+y-2=0

解得

x=0 y=2

或

x= 4 5 y= 2 5

即（0，2）和（

4

5

，

2

5

）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓方程的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是對圓性質(zhì)的熟練掌握．