Question

2．判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2x}{x+1}$；
（2）f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}+\sqrt{{x}^{2}-1}$
（3）f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+2|-2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義分別進行判斷即可．

解答 解：（1）由x+1≠0得x≠-1，即函數(shù)的定義域為{x|x≠-1}，定義域關于原點不對稱，則f（x）=$\frac{2{x}^{2}+2x}{x+1}$為非奇非偶函數(shù)；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}≤1}\\{{x}^{2}≥1}\end{array}\right.$，即x²=1，即x=±1，則函數(shù)的定義域為{1，-1}，
則f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=0，則f（x）既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{4-{x}^{2}≥0}\\{|x+2|-2≠0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}≤4}\\{|x+2|≠2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{x≠0且x≠-4}\end{array}\right.$，即-2≤x＜0或0＜x≤2，
則此時f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{x+2-2}$=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$，
則f（-x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{-x}$=-$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，結(jié)合函數(shù)的定義域以及函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關鍵．