Question

如圖一，平面四邊形關(guān)于直線對(duì)稱，．把沿折起（如圖二），使二面角的余弦值等于．對(duì)于圖二，完成以下各小題：

（Ⅰ）求兩點(diǎn)間的距離；

（Ⅱ）證明：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

解析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，

由，得：

                                      

就是二面角的平面角，

                               …………………………2分

在中，

    

                                           …………………………4 分                                                                                                                                                                     

（Ⅱ）由，

                            …………………………6分

，                          

又

平面．                              　 …………………………8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面

平面

∴平面平面     　　　　　　　　　　　　　…………………………10分

平面平面，

作交于，則平面，

就是與平面所成的角，         　　　　…………………………12分

．                 …………………14分

方法二：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

∵                                　　　　　　　…………………10分

          

                                    　　　　　　……………………12分

于是與平面所成角的正弦為

．                             　　　　　………………………14分

方法三：以所在直線分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

 

．  ………10分

設(shè)平面的法向量為n，則

n， n，

取，則n，       ----------12分

于是與平面所成角的正弦即

．   ……………14分