Question

已知橢圓

x=2cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）
（1）求該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（2）已知點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P與點(diǎn)M（0，2）的距離|PM|的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系消去參數(shù)θ得到橢圓的直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)焦點(diǎn)和離心率的定義直接可求得．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入（1）中所得橢圓方程，利用M（0，2）及兩點(diǎn)間的距離公式求|PM|的表達(dá)式，結(jié)合y的范圍即可求出|PM|的最大值．

解答：解：（1）由

x=2cosθ y=sinθ

得

x 2 =cosθ y=sinθ

∴

x2

4

+y2=1---------------------------------------------------------------------------（2分）
∴a²=4，b²=1
∴c²=a²-b²=3
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為( 

3

 ， 0 )，( -

3

 ， 0 )-------------------------------------（4分）
離心率e=

c

a

=

3

2

------------------------------------------------------------------（6分）
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），則

x2

4

+y2=1，即：x²=4-4y²------------------------------------------------（8分）
∴|PM|=

x2+(y-2)2

=

-3y2-4y+8

=

-3(y+ 2 3 )2+ 28 3

------------------------------------------------（12分）
∵y∈[-1，1]
∴當(dāng)y=-

2

3

時(shí)，|PM|≥

28 3

=

2 21

3

∴|PM|的最大值是

2 21

3

----------------------------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的參數(shù)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．