Question

17．如圖，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過點P（0，1）的動直線l與橢圓相交于A、B兩點，當直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為4．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設O為坐標原點，是否存在常數(shù)λ，使得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過點P（0，1）的動直線l與橢圓相交于A、B兩點，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+1，與橢圓聯(lián)立，得（4k²+1）x²+8kx-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積，結合已知條件推導出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=-$\frac{5}{3}$為定值．當直線AB的斜率不存在時，直線AB即為直線CD，$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=-$\frac{5}{3}$．從而得到存在常數(shù)$λ=-\frac{1}{3}$，使得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$為定值-$\frac{5}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過點P（0，1）的動直線l與橢圓相交于A、B兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=2，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kx-4=0，
△=64k²+8（4k²+1）＞0，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8k}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-4}{4{k}^{2}+1}$，
從而$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=x₁x₂+y₁y₂+λ[x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）]
=（1+λ）（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=$\frac{（-4λ-8）{k}^{2}+（-4λ-3）}{4{k}^{2}+1}$，
∴當$λ=-\frac{1}{3}$時，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=-$\frac{5}{3}$，
此時，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=-$\frac{5}{3}$為定值．
當直線AB的斜率不存在時，直線AB即為直線CD，
此時，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=-$\frac{5}{3}$．
故存在常數(shù)$λ=-\frac{1}{3}$，使得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$為定值-$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的常數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積、橢圓性質的合理運用，是中檔題．