Question

設(shè)a、b、c均為正實數(shù)，求證：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

Answer 1

分析：對左邊變形

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）+

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）+

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）后，兩項兩項地應(yīng)用基本不等式，得到三個不等式后相加即得．

解答：證明：∵a、b、c均為正實數(shù)，
∴

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，當a=b時等號成立；

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

2 bc

≥

1

b+c

，當b=c時等號成立；

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

2 ca

≥

1

c+a

．
三個不等式相加即得

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

，
當且僅當a=b=c時等號成立．

點評：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過的不等式及不等式的性質(zhì)經(jīng)過一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法．