Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=6，．
（1）若，求數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a_n=kC³_n+2，（其中C_n^m表示組合數(shù)），求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為T_n，求；

Answer 1

【答案】分析：（1）表示出新數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)，做差，得到差是定值，得到數(shù)列是等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，
（2）用數(shù)列的通項(xiàng)和所給的組合數(shù)比較，整理后求出k的值，表示出通項(xiàng)，要求前n項(xiàng)和，寫出后觀察可用組合數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果．
（3）整理構(gòu)造的新數(shù)列，化簡后可用裂項(xiàng)法求和，得到和式，求極限．
解答：解：（1）
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所以{d_n}是等差數(shù)列，，
所以d_n=3+（n-1）=n+2
（2）由（1）得a_n=n（n+1）（n+2）
a_n=kC³_n+2=，k=6
即：a_n=n（n+1）（n+2）=6C_n+2³
所以，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=6（C₃³+C₄³+C₅³++C_n+2³）
=6C_n+3⁴
=
（3）

利用裂項(xiàng)法得：=
∴
點(diǎn)評(píng)：有的數(shù)列可以通過遞推關(guān)系式構(gòu)造新數(shù)列，構(gòu)造出一個(gè)我們較熟悉的數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．這是一種化歸能力的體現(xiàn)． 數(shù)列的遞推關(guān)系式往往比通項(xiàng)公式還重要，我們要重視數(shù)列的遞推關(guān)系式，依據(jù)遞推關(guān)系式的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒�，達(dá)到解決問題的目的．