Question

數(shù)列．
（1）求證：①a_n＜a_n+1；②1≤a_n＜2；（2）比較的大小，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）①欲比較a_n與a_n+1的大小，利用作差比較，然后進(jìn)配方可判定正負(fù)；②直接利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可；
（2）由a_n+1=，從而，從而求出的值，然后利用作差比較的大小即可．
解答：解：（1）證明：①因為a_n+1-a_n=≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)a_n=2時，a_n+1=a_n．
因為a₁=1，所以a_n+1-a_n＞0，即a_n＜a_n+1（n=1，2，3，…）．…（3分）
②因為，由①得a_n≥1（n∈N^*）．（i）
下面證明：對于任意n∈N^*，有a_n＜2成立．當(dāng)n=1時，由a₁=1，顯然結(jié)論成立．
假設(shè)結(jié)論對n=k（k≥1）時成立，即a_k＜2．
因為a_n+1=在x≥1時單調(diào)遞增，
所以a_k+1＜=2．
即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立．
于是，當(dāng)n∈N^*時，有a_n＜2成立．（ii）
根據(jù)（i）、（ii）得1≤a_n＜2．…（9分）
（2）由a_n+1=，
從而．
因為a₁=1，所以…（11分）
所以
=．
由a₁=1及a_n+1=．
所以，當(dāng)n=1時，；當(dāng)n=2時，；
當(dāng)n≥3時，由
⇒…（14分）
點評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及利用作差法比較大小，同時考查了計算能力，屬于中檔題．