Question

若F₁、F₂為雙曲線(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在雙曲線左支上，M在右準(zhǔn)線上，且滿足，．

(Ⅰ)求此雙曲線的離心率；

(Ⅱ)若此雙曲線過(guò)點(diǎn)N(2，)，求雙曲線方程；

(Ⅲ)設(shè)(Ⅱ)中雙曲線的虛軸端點(diǎn)為B₁，B₂(B₁在y軸正半軸上)，點(diǎn)A、B在雙曲線上，且，求時(shí)，直線AB的方程．

當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，證明：f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由知四邊形PF1OM為平行四邊形， 　　又由知OP平分∠F1OM， 　　∴四邊形PF1OM為菱形．　　　　　　　　　　　　2分 　　設(shè)雙曲線的半焦距為c． 　　由＝c知＝c，＝c， 　　∴＝＋2a＝c＋2a， 　　又＝e，即＝e， 　　∴e2?e?2＝0，解得e＝2(e＝?1舍去)．　　　　　　4分 　　(Ⅱ)∵e＝2＝，∴c＝2a，∴雙曲線方程為． 　　將點(diǎn)(2，)代入雙曲線方程得 　　，∴a2＝3， 　　故所求雙曲線方程為．　　　　　　　　　　6分 　　(Ⅲ)依題意得B1(0，3)，B2(0，?3)．　　　　　　　　　7分 　　∵，∴A、B2、B共線． 　　設(shè)直線AB的方程為y＝kx?3． 　　由消去y得(3?k2)＋6kx?18＝0．　　　　　　8分 　　∵雙曲線的漸近線為y＝± x， 　　∴當(dāng)k＝± 時(shí)，AB與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，即k≠± ． 　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 　　x1＋x2＝，x1x2＝， 　　∴y1＋y2＝k(x1＋x2)?6＝，y1y2＝k2x1x2?k(x1＋x2)＋9＝9．　　10分 　　∵＝(x1，y1?3)，＝(x2，y2?3)， 　　由得x1x2＋y1y2?3(y1＋y2)＋9＝0，　　　　　　　　　　　11分 　　∴， 　　∴k2＝5，k＝．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分 　　故所求直線AB的方程為y＝x?3或y＝?x?3．　　　　　13分