Question

【題目】已知橢圓 的焦距為 ，且過(guò)點(diǎn) ，設(shè) ， 是 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段 的中點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ，線段 的中垂線交橢圓 于 ， 兩點(diǎn)．

（1）求橢圓 的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為m，求直線的方程，并求出 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)根據(jù)題意得到,.所以，于是 ，，進(jìn)而得到方程；（2）分情況討論，當(dāng)直線 垂直于 軸時(shí)，直線 方程為 ，此時(shí) ，，得 ；當(dāng)直線 不垂直于 軸時(shí)，設(shè)直線 的斜率為 ，，，，由線段 的中點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ，得 ，得到直線 斜率為 聯(lián)立直線和橢圓得二次方程，，根據(jù)點(diǎn)在橢圓內(nèi)得到，進(jìn)而求得結(jié)果.

（1） 因?yàn)闄E圓 的焦距為 ，且過(guò)點(diǎn)K ，所以,.所以，于是 ，，所以橢圓 的方程為 ．

（2） 由題意，當(dāng)直線 垂直于 軸時(shí)，直線 方程為 ，此時(shí) ，，得 ．當(dāng)直線 不垂直于 軸時(shí)，設(shè)直線 的斜率為 ，，，，由線段 的中點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ，得 ，

則 ，故 ．此時(shí)，直線 斜率為 ， 的直線方程為 ，即 ．

聯(lián)立 消去 ，整理得 ．

設(shè) ，，所以，于是

由于 在橢圓的內(nèi)部，故 ，

所以 ．

綜上， 的取值范圍為 ．