【題目】設(shè)橢圓
，其長軸長是短軸長的
倍，過焦點且垂直于
軸的直線被橢圓截得的弦長為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）點
是橢圓上橫坐標(biāo)大于
的動點，點
在
軸上，圓
內(nèi)切于
，試判斷點在何位置時
的長度最小，并證明你的判斷．
【答案】（1）
；（2）點
的橫坐標(biāo)為
時，
的長度最小.見解析.
【解析】
（1）根據(jù)條件列方程組，解得
；
（2）先設(shè)
，
，根據(jù)點斜式得直線
的方程，再根據(jù)直線與圓相切列等量關(guān)系得
，類似可得
，轉(zhuǎn)化為
是方程
的兩個根，利用韋達(dá)定理解得
，根據(jù)點滿足橢圓方程，代入化簡得
，最后根據(jù)
范圍以及函數(shù)單調(diào)性求最值，即得結(jié)果.
(1)由已知
，
因為過焦點且垂直于
軸的直線被橢圓截得的弦長為
，
，
解得，故所求橢圓方程為.
(2)設(shè)
，
.
不妨設(shè)
，則直線的方程為
，即
，
又圓心
到直線的距離為
，即
，
化簡得同理，，
是方程的兩個根，
，則，
是橢圓上的點，∴
，
.
令
，令
，則
，
，
當(dāng)
時，
取到最小值，此時，即點的橫坐標(biāo)為時，的長度最小.
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【題目】在棱長為
的正方體
中，點
、
、
分別為棱
、
、
的中點，經(jīng)過、、三點的平面為
，平面被此正方體所截得截面圖形的周長為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，點
是橢圓的一個頂點，
是等腰直角三角形.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
分別作直線
，
交橢圓于
，
兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為
，
，且
，證明：直線
過定點
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
與橢圓
有一個相同的焦點，過點
且與
軸不垂直的直線
與拋物線
交于
，
兩點，關(guān)于軸的對稱點為
.
（1）求拋物線的方程；
（2）試問直線
是否過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖正方體
的棱長為a，以下結(jié)論不正確的是（ �。�
A. 異面直線
與
所成的角為
B. 直線與
垂直
C. 直線與
平行
D. 三棱錐
的體積為
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在矩形
中，
，
，點
是邊
上一點，且
，點
是
的中點，將
沿著折起，使點
運動到點
處，且滿足
.
（1）證明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)橢圓
：
（
）,左、右焦點分別是
、
且
,以為圓心,3為半徑的圓與以為圓心,1為半徑的圓相交于橢圓上的點
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓
：
,
為橢圓上任意一點,過點的直線
交橢圓于
兩點,射線
交橢圓于點
①求
的值；
②令
,求
的面積
的最大值.
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