Question

2．如圖，已知點(diǎn)A（1，0），B是單位圓x²+y²=1上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)C在y軸的正半軸上，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$；
（2）若∠AOB=$\frac{2π}{3}$，求點(diǎn)A到直線OC的距離．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)C在y軸正半軸上，可得x_C=0，又點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x_B，即可得出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．
（2）由$∠AOB=\frac{2π}{3}$，可得$B（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：C坐標(biāo)，可得直線OC的方程，利用點(diǎn)A到直線OC的距離公式即可得出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)C在y軸正半軸上，
∴x_C=0，又點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，
∴x_A+x_C=2x_B，∴${x_B}=\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}$．
（2）∵$∠AOB=\frac{2π}{3}$，∴$B（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
由點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，∴$C（-2，\sqrt{3}）$，
∴直線OC的方程為$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$，即$\sqrt{3}x+2y=0$，
∴點(diǎn)A到直線OC的距離$d=\frac{{|{\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{3+4}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線方程、單位圓、點(diǎn)到直線距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．