Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=（-x²+ax-3）e^x（其中a實數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當a=5時，求函數(shù)y=g（x）在點（1，e）處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ） 若存在x₁，x₂∈[e^-1，e]（x₁≠x₂），使方程g（x）=2e^xf（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,分類討論,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）寫出當a=5時g（x）的表達式，求出導數(shù)，求得切線的斜率和切點，再由點斜式方程，即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)，求出極值點，討論①當t≥

1

e

時，②當0＜t＜

1

e

時，函數(shù)f（x）的單調性，即可得到最小值；
（Ⅲ） 由g（x）=2e^xf（x）可得2xlnx=-x²+ax-3，得到a=x+2lnx+

3

x

，令h（x）═x+2lnx+

3

x

，求出導數(shù)，列表求出極值，求出端點的函數(shù)值，即可得到所求范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=5時，g（x）=（-x²+5x-3）e^x，
g′（x）=（-x²+3x+2）e^x，
故切線的斜率為g′（1）=4e，且g（1）=e，
所以切線方程為：y-e=4e（x-1），即4ex-y-3e=0．
（Ⅱ）f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，得x=

1

e

，
①當t≥

1

e

時，在區(qū)間（t，t+2）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
所以f（x）_min=f（t）=tlnt，
②當0＜t＜

1

e

時，在區(qū)間（t，

1

e

）上f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
在區(qū)間（

1

e

，e）上f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
所以f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

；
（Ⅲ） 由g（x）=2e^xf（x）可得2xlnx=-x²+ax-3
a=x+2lnx+

3

x

，
令h（x）═x+2lnx+

3

x

，h′（x）=1+

2

x

-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

x	（ 1 e ，1）	1	（1，e）
h′（x）	-	0	+
h（x）	單調遞減	極小值（最小值）	單調遞增

h（

1

e

）=

1

e

+3e-2，h（1）=4，h（e）=

3

e

+e+2，
h（e）-h（

1

e

）=4-2e+

2

e

＜0
則實數(shù)a的取值范圍為（4，e+2+

3

e

]．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求極值、最值，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．