Question

一個(gè)球面上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，若AB=AC=2，BC=2

2

，球心到平面ABC的距離為1，則球的表面積為（　　）

A．3π

B．4π

C．8π

D．12π

Answer 1

分析：根據(jù)題意，算出△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，得BC的中點(diǎn)D為△ABC的外接圓的圓心．設(shè)球心為點(diǎn)O，連結(jié)OD，由球的截面圓性質(zhì)，在Rt△BOD中根據(jù)所給數(shù)據(jù)算出OB長(zhǎng)，得球半徑R=

3

，即可算出該球的表面積．

解答：解：∵△ABC中，AB=AC=2，BC=2

2

，
∴AB²+AC²=8=BC²，得△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形．
因此BC的中點(diǎn)D為△ABC的外接圓的圓心，
設(shè)球心為點(diǎn)O，連結(jié)OD，可得OD⊥平面ABC，
∵球心到平面ABC的距離OD=1，BD=

1

2

BC=

2

，
∴Rt△BOD中，OB=

OD2+BD2

=

3

，即球的半徑R=

3

．
由此可得球的表面積S=4πR²=12π．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出球面上三個(gè)點(diǎn)之間的距離，在已知三點(diǎn)確定的平面到球心的距離情況下，求該球的表面積．著重考查了球的截面圓性質(zhì)、勾股定理和三角形的外接圓等知識(shí)，屬于中檔題．