Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²-16n-6，求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和S_n′=

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知，當(dāng)n≤8時(shí)，|a_n|中第一項(xiàng)是21，第二項(xiàng)起是以13為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，由此可求出當(dāng)n≤8時(shí)S_n′的表達(dá)式．當(dāng)n≥9時(shí)，此時(shí)|a_n|的前8項(xiàng)之和S8′=21+

7

2

(13+1)=70，|a_n|的后n-8項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由此可求出當(dāng)n≥9時(shí)S_n′的表達(dá)式．

解答：解：∵S_n=n²-16n-6，∴S_n-1=（n-1）²-16（n-1）-6，a₁=S₁=-21，
a_n=S_n-S_n-1=2n-17，當(dāng)n=1時(shí)，2n-17=-15≠a₁，∴an=

-21，n=1 2n-17，n≥2

．
由2n-17≥0得n≥

17

2

．∴當(dāng)n≤8時(shí)，|a_n|=-a_n=

21，n=1 17-2n，2≤n≤8

，可算出當(dāng)n=8時(shí)，S8′=21+

7

2

(13+1)=70，當(dāng)n≤8時(shí)，|a_n|中第一項(xiàng)是21，第二項(xiàng)起是以13為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，∴Sn′=21+13(n-1)+

(n-1)(n-2)

2

×(-2)=--n²+16n+6．
當(dāng)n≥9時(shí)，此時(shí)|a_n|的前8項(xiàng)之和已得出為70，|a_n|的后n-8項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，后n-8項(xiàng)的和為Tn=(n-8)×1+

(n-8)(n-9)

2

×2=n²-16n+64，∴S_n′=S₈′+T_n=n²-16n+134．
∴S_n′=

-n2+16n+6，n≤8 n2-16n+134，n≥9

．
故答案為：

-n2+16n+6，n≤8 n2-16n+134，n≥9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．