Question

【題目】設(shè)點、是平面上左、右兩個不同的定點， ，動點滿足：

．

（1）求證：動點的軌跡為橢圓；

（2）拋物線滿足：①頂點在橢圓的中心；②焦點與橢圓的右焦點重合．

設(shè)拋物線與橢圓的一個交點為．問：是否存在正實數(shù)，使得的邊長為連續(xù)自然數(shù)．若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在實數(shù)，使得的邊長為連續(xù)自然數(shù)。

【解析】試題分析: （1）根據(jù)題意，分兩種情況討論：①點P、F1、F2構(gòu)成三角形，②點P、F1、F2不構(gòu)成三角形，每種情況下分析可得|PF1|+|PF2|=4m，由橢圓的定義分析可得答案；

（2）根據(jù)題意，由（1）可得，動點P的軌跡方程，分析可得拋物線的焦點坐標(biāo)，假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)m，結(jié)合橢圓與拋物線的性質(zhì)分析可得m的值，即可得答案．

試題解析

（1）若點構(gòu)成三角形則

，

整理得，即．

若點不構(gòu)成三角形，也滿足．

所以動點的軌跡為橢圓

（2）動點的軌跡方程為

拋物線的焦點坐標(biāo)為與橢圓的右焦點重合．

假設(shè)存在實數(shù)，使得的邊長為連續(xù)自然數(shù)．

因為，

不妨設(shè)|，

由拋物線的定義可知，解得，

設(shè)點的坐標(biāo)為，

整理得，解得或

所以存在實數(shù)，使得的邊長為連續(xù)自然數(shù)