Question

16、如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E是PD的中點
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）求證：平面PDC⊥平面AEC．

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于O點，連接EO，只要證明EO∥PB，即可證明PB∥平面AEC；
（2）要證平面PDC⊥平面AEC，需要證明CD⊥AE，AE⊥PD，即垂直平面AEC內的兩條相交直線．

解答：解：（1）連接BD交AC于O點，連接EO，
因為O為BD中點，E為PD中點，所以EO∥PB，（2分）
EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）
（2）因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因為AD⊥CD，且AD∩PA=A，所以CD⊥平面PAD．（8分）
因為AE?平面PAD，所以CD⊥AE．（10分）
因為PA=AD，E為PD中點，所以AE⊥PD．
因為CD∩PD=D，所以AE⊥平面PDC．（12分）
又因為AE?平面PAD，所以平面PDC⊥平面AEC．（14分）

點評：本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判定，邏輯思維能力，是中檔題．