Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量（），，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為T(mén)．

（1）求軌跡T的方程,并說(shuō)明該方程表示的曲線的形狀；

（2）當(dāng)時(shí)，已知、，試探究是否存在這樣的點(diǎn)： 是軌跡T內(nèi)部的整點(diǎn)（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），且△OEQ的面積？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）軌跡方程為：

當(dāng)時(shí)，方程表示兩條與x軸平行的直線；

當(dāng)時(shí)，方程表示以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓；

當(dāng)且時(shí)，方程表示橢圓；

當(dāng)時(shí)，方程表示雙曲線.

（2）滿足條件的點(diǎn)存在，共有6個(gè)，它們的坐標(biāo)分別為：

解析:

（1）∵ ∴

得 即------------------------------------2分

當(dāng)時(shí)，方程表示兩條與x軸平行的直線；(答方程表示兩條直線不扣分)----------------------------3分

當(dāng)時(shí)，方程表示以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓；(答方程表示圓不扣分)-----------------------4分

當(dāng)且時(shí)，方程表示橢圓；-------------------------------------5分

當(dāng)時(shí)，方程表示雙曲線.-------------------------------------------6分

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，軌跡T的方程為：.

連結(jié)OE，易知軌跡T上有兩個(gè)點(diǎn)A，B滿足,

分別過(guò)A、B作直線OE的兩條平行線、.

∵同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等

∴符合條件的點(diǎn)均在直線、上. --------------------------------7分

∵   ∴直線、的方程分別為：、--------8分

設(shè)點(diǎn) （ ）∵在軌跡T內(nèi)，∴-----------------------9分

分別解與  得與

∵∴為偶數(shù)，在上，對(duì)應(yīng)的

在上，對(duì)應(yīng)的-----------------------13分

∴滿足條件的點(diǎn)存在，共有6個(gè)，它們的坐標(biāo)分別為：

．------------------------------------------14分