Question

【題目】已知的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)， ， 兩點(diǎn)都在拋物線上，且.

（1）求證：直線必過一定點(diǎn)；

（2）求證： 面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）當(dāng)時(shí)， 的面積取得最小值為

【解析】試題分析：（1）由于，所以設(shè)所在的直線的方程為（），則直線的方程為.分別與拋物線方程組方程組解得A,B點(diǎn)坐標(biāo)。由AB直線方程可寫出定點(diǎn)，要注意直線AB斜率不存在時(shí)情況。（2）由（1）知直線AB過定點(diǎn)（2，0），所以可設(shè)直線的方程為.與拋物線組方程組。由韋達(dá)定理與面積公式，可求得面積最小值。

試題解析：（1）設(shè)所在的直線的方程為（），則直線的方程為.

由，解得或，即點(diǎn)的坐標(biāo)為

同理可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為

化簡并整理，得

當(dāng)時(shí)，恒有

當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，過點(diǎn).

故直線過定點(diǎn).

（2）由于直線過定點(diǎn)，記為點(diǎn)，所以可設(shè)直線的方程為.

由，消去并整理得，

∴，

于是

∴當(dāng)時(shí)， 的面積取得最小值為