Question

如圖,點P為斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側(cè)棱BB₁上一點,PM⊥BB₁交AA₁于點M,PN⊥BB₁交CC₁于點N.

       (1)求證:CC₁⊥MN;

       (2)在任意△DEF中有余弦定理:DE²=DF²+EF²-2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式,并予以證明.

      

Answer 1

解析:(1)證明:∵CC₁∥BB₁CC₁⊥PM,CC₁⊥PN,且PM∩PN=P,?

       ∴CC₁⊥平面PMNCC₁⊥MN.?

       (2)在斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,有S_ABB1A1²=S_BCC1B1²+S_ACC1A1²-2S_BCC1B1·S_ACC1A1cosα,其中α為平面CC₁B₁B與平面CC₁A₁A所組成的二面角.?

       ∵CC₁⊥平面PMN,∴上述的二面角為∠MNP.在△PMN中,PM²=PN²+MN²-2PN·MN·cos

∠MNPPM²CC₁²=PN²CC₁²+MN²CC₁²-2(PN·CC₁)·(MN·CC₁)cos∠MNP,由于S_BCC1B1=PN·CC₁,S_ACC1A1=MN·CC₁,S_ABB1A1=PM·BB₁,?

       ∴有S_ABB1A1²=S_BCC1B1²+S_ACC1A1²-2S_BCC1B1·S_ACC1A1cosα.