Question

已知函數(shù)，設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)為，（為正數(shù)）

（1）試用表示

（2）若記，證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列與函數(shù)，以及不等式的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)榍�線y=f(x)在點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)為，利用求出切點(diǎn)的斜率和點(diǎn)到坐標(biāo)表示切線方程，進(jìn)而得到結(jié)論。

（2）由（1）知，

所以從而得到所證明數(shù)列是等比數(shù)列。

（3）顯然恒大于0 ------------11分

因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811301016466212/SYS201209081130379617750500_DA.files/image010.png">

所以

然后分類討論求和得到證明。

解：（1）因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811301016466212/SYS201209081130379617750500_DA.files/image012.png"> 所以曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程是， ---------2分

令y=0得

顯然所以

即（或）  ----------4分

（2）由（1）知，

所以  ------------6分

從而，即其

所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列  -------8分

所以，即

所以，所以 ---------10分

（3）顯然恒大于0 ------11分

因?yàn)?img src="https://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811301016466212/SYS201209081130379617750500_DA.files/image029.png">

所以 ----------12分

當(dāng)時(shí)，顯然

當(dāng)時(shí)，

所以

即成立，證畢 ------------14分