Question

4．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-5x-6，x＜4\\ 2-{log_2}x，x≥4\end{array}\right.$
（1）求f（x）的零點(diǎn)；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）分兩段討論函數(shù)的零點(diǎn)，再取并集；
（2）運(yùn)用二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定分段函數(shù)的值域．

解答 解：（1）因?yàn)?f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-5x-6，x＜4\\ 2-{log_2}x，x≥4\end{array}\right.$，
所以，函數(shù)的零點(diǎn)需分類如下：
①當(dāng)x＜4時(shí)，令f（x）=x²-5x-6=0，
解得x=-1，或x=6（舍去），
②當(dāng)x≥4時(shí)，f（x）=2-log₂x=0，
解得x=4，符合題意，
因此，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為：4和-1；
（2）函數(shù)的值域分段討論如下：
①當(dāng)x＜4時(shí)，令f（x）=x²-5x-6=（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{49}{4}$，
此時(shí)，f（x）∈[-$\frac{49}{4}$，+∞）；
②當(dāng)x≥4時(shí)，f（x）=2-log₂x在[4，+∞）上單調(diào)遞減，
此時(shí)，f（x）∈（-∞，0]，
綜合以上討論得，函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了分段函數(shù)零點(diǎn)的求解，以及值域的確定，運(yùn)用了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．