Question

17．設(shè)集合P={x|x=a+b$\sqrt{3}$，a、b∈N}，對于其中任意兩個元素進行加法、減法、除法（除數(shù)不能為零）的運算，其結(jié)果是否仍屬于集合P，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 設(shè)也x、y的式子，由實數(shù)的加減除運算求出x+y，x-y，$\frac{x}{y}$，都寫為a+b$\sqrt{3}$的形式，由a∈N，b∈N，c∈N，d∈N分別判斷出所求式子中的數(shù)是否屬于自然數(shù)集，是則符合題意，不是則不符合題意

解答 解：設(shè)x=a+b$\sqrt{3}$，y=c+d$\sqrt{3}$，
x+y=（a+c）+（b+d）$\sqrt{3}$，
x-y=（a-c）+（b-d）$\sqrt{3}$，
$\frac{x}{y}$=$\frac{（ac-3bd）+（bc-ad）\sqrt{3}}{{c}^{2}-3r0o0ll5^{2}}$，
∵a∈N，b∈N，c∈N，d∈N，
∴a+b∈N，c+d∈N，∴x+y∈P，
∴a-c∈z，b-d∈z，∴x-y∉p，
∴ac+3bd∈N，ad+bc∈N，∴xy∈P，
∴$\frac{ac-3bd}{{c}^{2}-3ng5a5dz^{2}}$∈Q，$\frac{bc-ad}{{c}^{2}-3fbn005h^{2}}$∈Q，∴$\frac{x}{y}$∉P，
∴運算結(jié)果屬于集合P的有加法運算．

點評 此題考查元素與集合的關(guān)系，結(jié)合了實數(shù)的四則運算，還有若兩個數(shù)為整數(shù)，加減乘除后是否還為整數(shù)，這也是一個自定義的題目，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，歸納出規(guī)律