Question

如圖，直三棱柱，，點M，N分別為和的中點。

   (Ⅰ)證明：∥平面;

   (Ⅱ)若二面角為直二面角，求的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析          （2）

【解析】（1）證法一：連結，由已知

AB=AC，三棱柱為直三棱柱，所以M為中點，

又因為N為的中點，所以∥.

又,,因此∥

證法二：取中點P，連結MP,NP，而M，N分別為的中點，所以MP∥，PN∥，所以MP∥，PN∥，又,

因此∥.而，因此MN∥

（2）以A為坐標原點，分別以直線AB，AC, 為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標系O-xyz，如圖所示.

設，則，

于是，

，

所以

設是平面的法向量

由得

可取

設是平面的法向量

由得

可取

因為為直二面角，所以

即，解得

考點定位：本大題主要以直三棱柱為幾何背景考查線面垂直的判定和二面角的求法，可以運用傳統幾何法，也可以用空間向量方法求解.突出考查空間想象能力和計算能力