Question

5．已知x＞0，y≥0，x+2y=1，求函數(shù)w=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2xy+y²+1）的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中x≥0，y≥0且x+2y=2，利用代入消元法，可將函數(shù)g=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2xy+y²+1）的真數(shù)部分化為-3y²+2y+1，0≤y$＜\frac{1}{2}$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析真數(shù)部分的最值，進(jìn)而結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得答案

解答 解：∵x＞0，y≥0且x+2y=1，
∴x=1-2y，（0＜y≤$\frac{1}{2}$）
令t=2xy+y²+1=-3y²+2y+1，0≤y$＜\frac{1}{2}$，
則當(dāng)y=$\frac{1}{3}$時(shí)，t取最大值$\frac{4}{3}$，此時(shí)W=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2xy+y²+1）的最小值為-log₂$\frac{4}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵