Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，證明:；

（3）試比較與 ，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）求得，對(duì)的范圍分類討論即可求得的單調(diào)性。

（2）將轉(zhuǎn)化成，證明恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求得，問題得證。

（3）由（2）可得：，整理得：，所以，整理得：

利用即可得：，問題得解。

（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>，

①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增

②當(dāng)時(shí)，令，解得 ．

當(dāng)時(shí)，，所以， 所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng) 時(shí)，，要證明，

即證，即證：.

設(shè)，則 ，令得，.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

所以為極大值點(diǎn)，且在處取得最大值。

所以，即。故.

（3）證明：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），即,

則有+

,

故：+