Question

方程（1-k）x²+（3-k²）y²=4（k∈R），當k=

 

時，表示圓；當k∈

 

時，表示橢圓；當k∈

 

時，表示雙曲線；當k=

 

時，表示兩條直線．

Answer 1

考點：曲線與方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據方程表示的曲線方程的特點，即可得到k的范圍：方程表示圓?1-k=3-k²＞0，方程表示橢圓?1-k＞0，且3-k²＞0，且1-k≠3-k²，方程表示雙曲線?（1-k）（3-k²）＜0，方程表示兩條直線

1-k=0 3-k2＞0

3-k2=0 1-k＞0

，分別解出它們即可．

解答： 解：由于方程（1-k）x²+（3-k²）y²=4（k∈R），
則方程表示圓?1-k=3-k²＞0，?k=-1或k=2（舍去）；
方程表示橢圓?1-k＞0，且3-k²＞0，且1-k≠3-k²，
?k＜1且-

3

＜k＜

3

，且k≠2且k≠-1．?-

3

＜k＜1且k≠-1；
方程表示雙曲線?（1-k）（3-k²）＜0?k＜-

3

或1＜k＜

3

；
方程表示兩條直線?

1-k=0 3-k2＞0

3-k2=0 1-k＞0

?k=1或k=-

3

．
故答案為：-1，（-

3

，-1）∪（-1，1），（-∞，-

3

）∪（1，

3

），1或-

3

．

點評：本題考查已知方程表示的曲線，求參數的范圍，考查橢圓和雙曲線方程的特點，以及直線方程和圓的方程，考查運算能力，屬于中檔題．