Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，過其上一點(diǎn)的切線方程為為常數(shù)）.

   （I）求拋物線方程；

   （II）斜率為的直線PA與拋物線的另一交點(diǎn)為A，斜率為的直線PB與拋物線的另一交點(diǎn)為B（A、B兩點(diǎn)不同），且滿足，求證線段PM的中點(diǎn)在y軸上；

   （III）在（II）的條件下，當(dāng)時(shí)，若P的坐標(biāo)為（1，－1），求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）線段PM的中點(diǎn)在y軸上（3）

解析:

（I）由題意可設(shè)拋物線的方程為,

         ∵過點(diǎn)的切線方程為,

         ……………………………………………………………2分

        

         ∴拋物線的方程為…………………………………………………3分

   （II）直線PA的方程為,

           

          

           同理,可得. …………………………………………………………5分

           …………………………6分

           又

          

         ∴線段PM的中點(diǎn)在y軸上.………………………………………………………7分

   （III）由

        

         ………………………………………8分

         ∵∠PAB為鈍角，且P, A, B不共線,

        

          即

        

         …………………………………………………………10分

         又∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)    ∴當(dāng)時(shí)，；

         當(dāng)

         ∴∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)的取值范圍為……………12分